Мухаммад аль-Хорезми был одним из крупнейших ученых Средневековья. Сфера его интересов охватывала такие науки, как математика, астрономия, история и география. Его биография, однако, известна куда хуже, чем его достижения. Родился он родился в конце VIII века предположительно в Хиве, хорезмском городе (на что указывает его имя), на территории современного Узбекистана. Умер аль-Хорезми во второй половине IX века. В некоторых источниках его называют «аль-маджуси», т.е. маг: это позволяет предположить, что его предки были магами, жрецами зороастрийской религии, широко распространенной в те времена в Средней Азии.
Главные научные достижения аль-Хорезми приходятся на период правления халифа династии Аббасидов Аль-Мамуна (с 813 по 833 годы). Деятельность Аль-Мамуна (а ранее – его отца) привела к тому, что IX век стал для арабского мира временем уникального культурного и научного подъема. Покровительствуя ученым, халиф основал в Багдаде своего рода Академию наук, «Дом мудрости», при котором была открыта библиотека старинных рукописей и астрономическая обсерваторя. Аль-Хорезми был одним из ученых, работавших в этом заведении, в частности, халиф назначил его «мудиром» - директором библиотеки.
Аль-Хорезми считается автором 9 сочинений. Из них до нашего времени дошли только 7: либо в виде текстов либо самого аль-Хорезми, либо его арабских комментаторов, либо в переводах на латынь. Одной из самых известных и значительных его работ является «Книга о восстановлении и противопоставлении» («Китаб аль-джебр валь-мукабала»), в которой были заложены основы алгебры как самостоятельной науки. Исторически алгебре предшествовала развивавшаяся с древнейших времен арифметика, правила которой сводились к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Однако характерное отличие алгебры от арифметики заключается в том, что в алгебре вводится неизвестная величина, и действия над ней приводят к составлению уравнения, из которого находится эта неизвестная.
Древняя математика была едина; в Древней Греции уже была отчётливо выделена геометрия. Со времени аль-Хорезми появилась возможность рассматривать как отдельную отрасль математики алгебру, после того как он представил ее в качестве науки об общих методах решения числовых линейных и квадратных уравнений и дал классификацию этих уравнений. Так, термин «восстановление» в вышеназванном труде он употребляет для обозначения процесса перенесения отрицательного числа из одной части уравнения в другую, а «противопоставление» - для обозначения процесса сокращения равных членов в обеих частях уравнения. Само слово «алгебра» происходит от начала названия сочинения аль-Хорезми («аль-джебр»), которое в XII веке было переведено на латинский язык и по которому европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений.
Другой важной работой аль-Хорезми является «Книга об индийском счете». В ней было впервые дано систематическое изложение арифметики, основанной на индийской десятичной позиционной системе счисления. Перевод этого труда на латынь был выполнен в XII веке, и в латинской траскрипции имя автора - аль-Хорезми - звучало как «Алгоризми». Поскольку сочинение об арифметике было очень популярно в Европе, это слово стало нарицательным – средневековые европейские математики так называли арифметику, основанную на десятичной позиционной системе счисления. Позднее термин «алгоритм» стал использоваться как общее название любой системы вычислений, выполняемых по строго определённым правилам.
Очень большую роль в практической жизни средневекового Востока играла астрономия - главным образом в морской и сухопутной торговле, но также и в орошаемом земледелии. Труд аль-Хорезми «Астрономические таблицы» (по-арабски - «зиджи») стал первой самостоятельной работой в этой сфере, написанной на арабском языке. Связанными с астрономией были также «Книга о построении астролябии», «Книга о действиях с помощью астролябии», «Книга о солнечных часах». Наряду с этими произведениями аль-Хорезми написал «Книгу истории», в которой были представлены гороскопы известных деятелей. Наконец, аль-Хорезми был автором географической «Книги картины Земли», в которой он дал определение широты и долготы 2402 населенных пунктов в качестве основы карты мира. При написании этой работы он во многом опирался на греческие сочинения, в т.ч. на «Географию» Птолемея, но при этом сам аль-Хорезми организовал и принял участие в научных экспедициях в Византию, Хазарию, Афганистан. Еще одна из его экспедиций была посвещена измерению длины градуса меридиана между Тадмором и Ракой, которое по тем временам было выполнено очень точно. Скорее всего, его научные заслуги этим не ограничиваются – однако и того, что нам известно о его трудах, дает более чем достаточно оснований считать аль-Хорезми одним из величайших ученых Средневековья.